Презентация магические квадраты. Магические квадраты. Познание характера человека

МБОУ «Вожегодская сш»

Магический квадрат

Занятие математического кружка в 5 классе

Цель работы:

Познакомиться с магическими квадратами.

1. Узнать историю возникновения квадратов.

2. Исследовать свойства квадратов.

3. Узнать правила заполнения квадратов.

3. Научиться правильно и быстро заполнять магический квадрат 3 на 3.

Формируемые УУД

Познавательные: доказывать, делать выводы, строить логически обоснованные рассуждения.

Регулятивные: определять цель, проблему деятельности; выдвигать версии; самоконтроль и коррекция.

Коммуникативные: излагать своё мнение, организовывать работу в паре (задавать вопросы, вырабатывать решение).

Личностные: уважительное отношение к одноклассникам, осознание необходимости в получении новых знаний.

Ход занятия

1. Какие из записанных на доске понятий нам известны:

- Математический софизм (доказательство с ошибкой, которую нужно найти)

- Математический парадокс (утверждение, которое можно рассматривать и как истинное, и как ложное)

- Лист Мёбиуса (топологическая фигура, имеющая одну бесконечную сторону)

- Магический квадрат

Тема нашего занятия «Магический квадрат»

Начну с предания, согласно которому китайский император Ию, живший четыре тысячи лет назад, увидел однажды на берегу реки священную черепаху с узором из черных и белых кружков на панцире. Сообразительный император сразу понял смысл этого рисунка. Попробуйте и вы его определить.

Найдите сумму чисел, которые изображены кружками, в каждой строке, столбце и диагонали

Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15.

Именно такой квадрат в математике и называют магическим. Свойства магических квадратов и в Древнем Китае, и в средневековой Европе считались волшебными. Магические квадраты служили талисманами, защищая тех, кто их носил, от разных бед.

На гравюре немецкого художника Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (1514 год) тоже изображён квадрат. Докажите, что он магический.

Сумма цифр в каждой строке, столбце, диагонали равна 34.

В этом квадрате есть ещё интересные свойства. Найдите сумму цифр в квадратах 2 на 2, во всех угловых клетках.

А сейчас, когда мы немного узнали о том, что же такое магический квадрат, попробуйте сформулировать цель нашего занятия. (Научиться заполнять). Задачи? (Узнать правило, потренироваться).

Как составить магический квадрат?

Число клеток вдоль одной из сторон квадрата обозначается буквой n и называется порядок квадрата. Существует квадрат любого порядка, кроме 2-го. Самый простой (тривиальный) - квадрат 1-гопорядка, состоящий из одной клетки. В простейшие магические квадраты вписываются натуральные числа от 1 до n2 + 1

Сумма чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали магического квадрата называется магической постоянной M . Магическая постоянная n и определяется формулой:

Найдите магическую постоянную для квадрата 3-го порядка (15), 4-го порядка (34), 5-го порядка (65).

Мы начнем с составления простейшего магического квадрата 3-го порядка. Мы знаем, что суммы всех чисел по горизонтали, вертикали и диагонали равны 15. Составьте все возможные суммы троек чисел от 1 до 9, дающие в результате 15.

Какое число встречается чаще всего? (5 - 4 раза) Значит, число 5 должно быть на пересечении 4-ёх рядов таблицы. Где оно должно быть? (В центре таблицы). Остальные числа распределите сами.

Какие квадраты получились?

Если “ магический” квадрат 4х4 обернуть вокруг прямоугольной рамки, можно обнаружить еще ряд свойств.

суммы четырех чисел вокруг рамки в любом направлении равны 34

сумма четырех чисел, которые встречаются в каждом углу с внешней и в каждом углу с внутренней стороны также равна 34

сумма четырех чисел одного цвета - 34

если складывать числа по спирали по часовой стрелке или против часовой стрелки вокруг рамки, начав в любом месте - 34.

Подведём итоги. Достигли ли мы цели?

Ресурсный круг. Что нового узнали, свои впечатления о занятии. Мы передавали руг другу тетраэдр - это геометрическое тело тоже обладает необычными свойствами. А какими - узнаем на одном из занятий кружка.

Раздаточный материал

Магический квадрат n - порядок квадрата Магический квадрат, n = 3

Магический квадрат n - порядок квадрата М - магическая постоянная квадрата Магический квадрат, n = 3 9 = 1 + 5 + 9, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = 2 + 5 + 8, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = ______________.

Из глубины веков Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими – магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n×n, заполненная натуральными числами от 1 до n 2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты чётного и нечётного порядка(в зависимости от чётности n).

Самый «старый» из дошедших до нас магический квадрат – таблица Ло шу (около 2200 г. до н. э.)

Магический квадрат 4-го порядка, был известен ещё древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов)

Квадрат Дюрера имеет размер 4×4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна

Оказывается, 34 равны и суммы других четвёрок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата, а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат

Как построить магический квадрат? Поиском способов составления магических квадратов многие математики. Известные на сегодня правила построения таких квадратов делятся на три группы в зависимости от порядка квадрата. Однако общего метода построения до сих пор не существует.

Все натуральные числа от 1 до 25 запишем в клетках по диагонали (по 5 в ряд) так, чтобы получился диагональный квадрат

Выделим в центре квадрат размером 5×5. Он и составит основу будущего магического квадрата

Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесём внутрь – к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток

Магический квадрат готов

Заполним клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствуют закрашенным клеткам

Выделенные на первом шаге клетки заполним пропущенными числами в порядке возрастания, двигаясь справа налево и снизу вверх. Магический квадрат построен

Рассмотрим способы построения магического квадрата любого чётного порядка. Во всех случаях таблицу n×n заполняют слева направо и сверху вниз натуральными числами от 1 до n 2 в их естественном порядке. Затем по определённому правилу переставляют числа в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим.

Разделим квадрат, заполненный числами от 1 до 64, на квадраты 4-го порядка

В каждой строке и столбце верхнего левого квадрата закрасим в шахматном порядке по две клетки

Для каждой из отмеченных клеток выделим тем же цветом симметричную ей относительно вертикальной оси

Число, стоящее в каждой из шестнадцати закрашенных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки

Построение квадрата завершено

Для примера возьмём квадрат 10×10. Разделим заполненный числами от 1 до 100 квадрат на квадраты 5-го порядка

В левом верхнем квадрате закрасим разным цветом три группы клеток, при этом в каждой строке и в каждом столбце по две клетки из первой группы и по одной из второй и третьей. Одинаковым цветом выделим клетки, расположенные вдоль диагонали квадрата и прямых, ей параллельных

Клетки, симметричные клеткам первой группы относительно вертикальной оси, закрасим таким же цветом

Число, стоящее в каждой из отмеченных клеток, переставим с числом из соответствующей центрально- симметричной клетки

Содержимое каждой клетки второй группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно горизонтальной оси квадрата

Содержимое каждой клетки третьей группы обменяем с содержимым симметричной ей относительно вертикальной оси квадрата
36 Вопросы Изучая способы построения магических квадратов, я поняла, что важно знать их постоянные, т. е. сумму чисел в любой строке, столбце или на диагонали. Конечно, если квадрат построен и значение n невелико, то сумму можно вычислить. А А что делать, если квадрат ещё не построен? И Или нужно проверить, является ли данный квадрат магическим? И как составить сам квадрат, не зная его постоянной?

Располагая числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Если разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова, то получится квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой.

Магический, или волшебный квадрат это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием Ло-шу и равносильны магическому квадрату.

В древности магические квадраты очень уважали и приписывали им различные мистические свойства. Говорят, если надо было решиться на какое-то опасное дело, их с магическими целями рисовали на бумажке и съедали. Такое же кушанье предлагали в качестве панацеи от всех болезней. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы.

Магических квадратов 2*2 не существует. Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 90º или на 180° таких квадратов 8.

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания картины (1514). гравюреАльбрехта Дюрера1514 Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (), в квадрате из угловых клеток (), в квадратах, построенных «ходом коня» (и), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (и). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадрат Дюрера имеет размер 4 х 4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат

Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056.

Составление Магического квадрата Начертив квадрат, разграфлённый на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд, как показано на рисунке. Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше)

Магического квадрата Пифагора Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения.

Магические квадраты привлекают к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».

Презентацию подготовил Кузнецов А 9А класс Школа №27

Слайд 2: 1

Магический квадрат – это квадрат, состоящий из п столбцов и п строк, в каждую клетку которого вписано число. Числа в квадрате размещены так, что в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональном ряду получается одна и та же сумма.

Слайд 3

Старейший в мире магический квадрат представлен выше. Черными кружками в этом квадрате изображены четные (женственные) числа, белыми – нечетные (мужественные) числа. В обычной записи он не так эффектен: 6 1 8 7 5 3 2 9 4

Слайд 4: Магический квадрат 5 порядка

Доказано, что магических квадратов 5 порядка более 13 млн. Магический квадрат 5 порядка

Слайд 5: Магический квадрат Пифагора

Пифагор создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки.

Слайд 6: Магический квадрат Дюрера

В её правом верхнем углу размещён магический квадрат 4 порядка. Сумма чисел каждого ряда равна 34. Магический квадрат Дюрера

Слайд 7: Свойства магического квадрата А.Дюрера

В Европу магические квадраты проникли лишь в начале XV века. A в начале XVI века один из них был увековечен выдающимся немецким художником, гравером и немного математиком А. Дюрером в его лучшей гравюре «Меланхолия» (1514 г.). Дюрер воспроизвел на гравюре (в несколько измененном виде) тот самый магический квадрат, составленный из 16 чисел. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Очарование этого магического квадрата не только в постоянстве сумм, которое является лишь его основным свойством. Подобно тому, как в истинно художественном произведении находишь тем больше новых привлекательных сторон, чем больше в него вглядываешься, так и в этом произведении математического искусства таится немало красивых свойств, помимо основного.

Слайд 8: Свойства магического квадрата А.Дюрера

Если все столбцы магического квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то есть - числа первого столбца в той же последовательности расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй строки и т.д., то квадрат останется магическим с теми же его свойствами. Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Магический квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным» магическим квадратом (полумагическим квадратом). Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые магические и полумагические квадраты из 16 чисел. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 При обмене местами отдельных строк или столбцов магического квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем, местами первую и вторую строки данного квадрата, получим то, что показано на рисунке справа: Свойства магического квадрата А.Дюрера

Слайд 9: Квадраты порядка, кратного четырем

Для составления какого-либо магического квадрата порядка n=4,8,12,4k удобна, например, такая простая схема: Разместить числа в клетках заданного квадрата в порядке их возрастания (в натуральном порядке); Выделить по углам заданного квадрата четыре квадрата со сторонами n/4 и в центре один квадрат со стороной n/2 В пяти выделенных квадратах обменять местами числа, расположенные симметрично относительно центра заданного квадрата; это значит, что в натуральном расположении чисел квадрата четвертого порядка надо поменять местами 1 и 16, 4 и 13, 6 и 11, 7 и 10. Квадраты, составленные по указанной схеме, будут всегда магическими симметрическими. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10

Последний слайд презентации: Магические квадраты: Эт Все

Материал взят на просторах интернета,а в частности на сайте ru.wikipedia.org

Аристеев Сергей

Данная работа отвечает на вопросы: что такое магические квадраты и как его построить?. Дана легенда о магическом квадрате. Перечислены различные способы построения магичнских кавдратов: метод террас, метод квадратных рамок, метод Рауз-Болла, метод Делаира. Дана прктическая работа по составлению магических квадратов

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Магические квадраты Работа Аристеева Сергея, ученика 5 класса МКОУ " Камышовская ООШ" Лиманского района Астраханской области Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учителя математики с.Камышово, 2013 г. «Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии ». Леонард Эйлер

ответить на вопрос: что такое магический квадрат и как его построить. Цель проекта: Задачи проекта: Изучить литературу по данному вопросу. Узнать историю магических квадратов. Научиться строить магические квадраты различными способами.

Постановка проблемы Легенда о магическом квадрате Как составлять магические квадраты Правило « ло -шу» Метод Рауз - Болла Метод террас Метод квадратных рамок Метод Д елаира или метод латинских квадратов Заключение. Литература Содержание

Расставьте натуральные числа от 1 до 9 т ак, чтобы сумма чисел столбцов и строчек была одинаковой. Чтобы решить эту задачу обратимся к истории. Постановка проблемы

В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок ») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков. Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица: Легенда о магическом квадрате

У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4 +3 + 8=15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк. Т от же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15. Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали « Л о-шу » и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.

Числовой квадрат называют магическим, если суммы S каждого горизонтального ряда, каждого вертикального ряда и обеих диагоналей одинаковы. Числовым квадратом порядка n, где n – натуральное число, будем называть квадрат разбитый на клеток, на которых размещается натуральные числа от 1 до Что называется магическим квадратом?

К вадраты можно получить из « ло -шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90°, 180° или 270°, либо зеркально отражая его. Если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше методами (поворотами и зеркальными отражениями) получить еще 7 магических квадратов. Новые магические квадраты получают: методом террас методом квадратных рамок методом Делаира, или методом латинских квадратов Как составляют магические квадраты?

Магический квадрат « ло -шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдет один раз, за исключением центрального, которое войдет четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4-15= = Зх + 3-15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5. Правило « ло -шу»

Несложно написать магический квадрат четвертого порядка: для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку. теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика: Метод Рауз-Болла 1 5 2 3 7 9 10 11 6 13 4 16 12 8 14 15 16 13 4 1 11 10 7 6 16 2 3 13 5 9 4 14 15 1 8 12 11 10 7 6

Инструкция При диагонали соединяют не только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть диагонали проводятся в четырёх угловых квадратах 4х4 (см. рис.); взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33. Построение методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка

Готовый магический квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов Построение магического квадрата методом террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата 3 порядка. Алгоритм С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо). Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом: числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо. Получаем магический квадрат 3 3 . Сумма чисел = 15 . МЕТОД ТЕРРАС 1 4 2 7 5 3 8 6 9 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас. Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму. 1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка. 2. Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо. Получаем: Построение магического квадрата n=5

Практическая работа. 1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15

методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

6 32 18 44 30 40 16 42 28 4 14 50 26 2 38 48 24 10 36 12 22 8 34 20 46 На рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n=4·m (m=1,2,3…), то есть порядок такого квадрата делится на 4. Для магических квадратов четно-четного порядка применяется метод квадратных рамок. Алгоритм На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам). Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до 2n по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа клетки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д. Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис. Метод квадратных рамок.

9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 13 12 14 15 16 17 18 19 21 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

4 5 3 6 2 21 20 7 1 22 19 8 16 23 36 37 18 9 24 15 35 38 10 17 25 34 14 53 52 11 39 32 33 26 54 13 12 51 31 40 48 55 27 30 50 41 56 47 28 29 42 49 57 46 43 64 58 45 44 63 59 62 60 61

Готовый магический квадрат 8-порядка

Определение. Обобщённым латинским квадратом порядка n называется квадратная таблица размером n· n, среди элементов которой различными будут только n штук, и любой из n различных элементов встречается ровно n раз внутри этой таблицы. Описание метода построения: 1 этап. Строим обобщённый латинский квадрат порядка n следующим образом: каждая строка нижней половины квадрата заполняется путём последовательного чередования чисел i и n-i-1, где i – порядковый номер строки (строки нумеруются снизу вверх целыми числами от 0 до n-1); верхняя половина квадрата получается из нижней отражением относительно вертикальной оси симметрии. 2 этап. Строим второй обобщённый латинский квадрат из первого. Для этого надо повернуть построенный на первом этапе квадрат на 90 градусов по часовой стрелке. Замечу, что полученные таким образом два латинских квадрата будут ортогональными, но я не стала давать определение ортогональных латинских квадратов, потому что для понимания представленного метода построения это не имеет значения. 3 этап. Строим совершенный квадрат следующим образом. Обозначим элементы первого латинского квадрата элементы второго латинского квадрата – , тогда каждый соответствующий элемент совершенного квадрата получается по формуле: n + + 1 Построение магического квадрата методом Делаира, или методом латинских квадратов.

Первый Второй Магический латинский квадрат латинский квадрат квадрат четвёртого ттр порядка 2 1 2 1 1 3 0 3 0 1 2 1 2 0 3 0 3 0 1 3 2 3 2 0 1 0 1 3 2 3 2 0 1 9 6 12 7 16 3 13 2 5 10 8 11 4 15 1 14 Для нижней части квадрата: п ервая строка: i = 0, 4-i- 1= 4-0-1=3. Числа 0 и 3 чередуются Вторая строка: i =2, 4-2-1=1 . Числа 2 и 1 чередуются. Для верхней части квадрата симметрично отражаем числа нижней части (по стрелкам). i = 3 i = 2 i = 1 i = 0 Получили из первого квадрата поворотом на 90°по часовой стрелке. Получили по формуле =2·4+0+1=9 = 1·4+1+1=6 = 2·4+3+1=12 = 1·4+2+1=7 = 3·4+3+1=16 = 0·4+2+1=3 = 3·4+0+1=13 и тд 1 2 3 4 1 2 3 4

Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о них содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV - V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является таблица Ло-шу (2200 до н. э.). Следующие по времени сведения о магических квадратах дошли до нас из Индии и Византии. В Европе изображение магических квадратов впервые встречается на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 - год издания этой гравюры А. Дюрера. Способами составления магических квадратов занимались многие математики: в XVI в. А. Ризе и М. Штифель, в XVII в. А. Кирхер и Баше де Мезериак. Теорией магических квадратов занимался французский математик Делаир. Леонард Эйлер придумал метод шахматного коня для построения некоторых магических квадратов. Теория магических квадратов ни в коей мере не может считаться завершённой. До сих пор неизвестен общий метод построения всех магических квадратов и неизвестно их число.

Толковый словарь математических терминов. О.В. Я. В. Успенский Избранные математические развлечения. - Сеятель, 1924. Б. А. Кордемский Математическая смекалка. - М.: ГИФМЛ, 1958. - 576 с. М. М. Постников Магические квадраты. - М.: Наука, 1964. Н. М. Рудин От магического квадрата к шахматам. - М.: Физкультура и спорт, 1969. Е. Я. Гуревич Тайна древнего талисмана. - М.: Наука, 1969. М. Гарднер Математические досуги. - М.: Мир, 1972. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989. Ю. В. Чебраков Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. - СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995. Ю. В. Чебраков Теория магических матриц. - СПб., 2008. М. Гарднер Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. - М.: Мир, 1990.Шахматный подход ЛИТЕРАТУРА